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欧拉遗产问题:倒推再显神奇   

2010-04-24 18:07:51|  分类: 解题方法 |  标签: |举报 |字号 订阅

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欧拉遗产问题:倒推再显神奇

太康县城关镇建南小学 师亚军

  三年级数学(下)《新课堂练习册》上有一道题,原题如下:

老汉今年九十一,有点家产想处理。

老大拿去一万整,哭着闹着他不依;

思来想去怎么办,八分之一属于你;

老二听说有这事,先取两万往下提;

八分之一归了我,剩余兄弟再分去;

如此先拿往上增,再取八分还有一;

小弟还小不懂事,最后剩余全归己;

说来这事真稀罕,公平合理分仔细;

老汉了却终生愿,家产兄弟各有几?

 明眼人一看就知:这道题是根据欧拉的《遗产问题》改编而来的。

 欧拉的遗产问题是大数学家欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题,题目是这样的:有一位父亲,临终时嘱咐他的儿子这样来分他的财产:第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一;第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一;第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一;第四个儿子分得400克朗和剩下财产的十分之一……按这种方法一直分下去,最后,每一个儿子所得财产一样多。问:这位父亲共有几个儿子?每个儿子分得多少财产?这位父亲共留下了多少财产?

《遗产问题》多出现在初中代数上,一般都用代数法(列方程)解答。如今偏出现在小学里,而且还是中年级低段,我们就不得不另辟捷径了。

先解原创题。同学们不要被这么长的题目所吓坏,其实只要抓住题中的关键所在,从后往前推算,并运用算术法的有关知识,就可迎刃而解了。

因为每个儿子分得的财产一样多,而且都可以分作两部分:一是若干克朗;二是剩下财产的十分之一。第一部分是用数量表示的,第二部分是用分率表示的。

如下图所示: 

儿子

数量表示的财产

分率表示的财产

老大

100克朗

剩下的十分之一

老二

200克朗

剩下的十分之一

……

二小

n

剩下的十分之一

老幺

n+100

0

    我们不妨先想想老幺。它分的只有一部分,而且是用数量表示的(如果一定说是两部分,那第二部分只能说是0的十分之一,即是0。)

我们再想想倒数第二个儿子(简称“二小”)。他分的两部分,第一部分比老幺少100克朗,因为“二小”与“老幺”分得的财产一样多,那么第二部分就应该是100克朗(比0多100克朗),即剩下财产的十分之一是100克朗。由此可得:剩下财产是100×10=1000(克朗)。1000克朗,“二小”分十分之一,余下的都是老幺的,即是1000-100=900(克朗)

老幺分得900克朗,因此这位父亲有儿子900÷100=9(个),共留下财产900×9=8100(克朗)。

回过头来,再看看改编题,就易如反掌了。“二小”先拿部分比“老幺”先拿的少1万,再取的八分之一就是1万。老幺分得1×8-1=7(万),因此弟兄共有7÷1=7(个),家产共有7×7=49(万)。

 
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