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数学世界

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你会分类枚举吗  

2010-05-19 11:11:16|  分类: 解题方法 |  标签: |举报 |字号 订阅

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你会分类枚举吗

太康县城关镇建南小学 师亚军

一年级数学下《新课题练习册》上,有一道这样的数学题:用2356写出几个两位数的加法算式,并计算出来。

2356随便写几个两位数的加法算式并不难,难在写出所有符合要求的两位数加法算式。这就需要用到分类枚举的知识了。

分类枚举就是依据一定的标准把题目的答案分为几种类型,一一列举出来。分类枚举的方法主要用来解决一些排列组合的问题,列举时要有序分类,保证答案既不遗漏又不重复,其中分类标准的确定是解题的关键,同一题因标准不同可能有不同的分类方法,好的分类方法会使解题过程变得更加简单。学会分类枚举,不仅可以解决本题,今后遇到更复杂问题时,我们也可以用列举的方法找出部分答案,然后在已有答案中发现规律,从而进一步寻求解题方案。

上题中,我们从2356中任意选择一个数字,譬如选择数字2,根据2是出现在十位还是出现在个位上分两类:

1、               数字2出现在十位,可以组成的两位数分别是232526.

(1)       组成23后,剩下的数字可以组成5665

算式有:23+56=7923+65=88.

(2)       组成25后,剩下的数字可以组成3663.

算式有:25+36=6125+63=88.

(3)       组成26后,剩下的数字可以组成3553.

算式有:26+35=6126+53=79.

2、               数字2出现在个位,可以组成的两位数分别是325262.

(1)       组成32后,剩下是数字可以组成5665.

算式有:32+56=8832+65=97.

(2)       组成52后,剩下的数字可以组成3663.

算式有:52+36=8852+63=115.

(3)       组成62后,剩下的数字可以组成3553.

算式有:62+35=9762+53=115.

    因此,共有12个算式符合要求。

下面再看几道例题:

【题目】:10只鸽子关在3个同样的笼子里,使得每个笼子里都有鸽子,可以有多少种不同的放法?

【解析】:这里笼子都是同样的,因此3只笼子是无序的。

因为10÷3=3……1,根据题中条件,可得鸽子最少的那个笼子里的鸽子不多于3只,不少于1只,我们可以这样分为三类:

一、鸽子最少的那个笼子里有1只鸽子,共有4种放法:①1只、1只、8只;②1只、2只、7只;③1只、3只、6只;④1只、4只、5只。

二、鸽子最少的那个笼子里有2只鸽子,共有3种放法:①2只、2只、6只;②2只、3只、5只;③2只、4只、4只。

三、鸽子最少的那个笼子里有3只鸽子,共有1种放法:①3只、3只、4只。

所以共有放法:4+3+1=8(只)。

【题目】:有一架天平和三只重量分别为1克,3克,6克的砝码,你知道用这架天平和这些砝码共能称出多少种重量吗?

【解析】:这一题要在孩子学习了三上第三单元,认识了常见的称和质量单位后,再学习比较合适。如果超前完成,需要对孩子介绍一下天平的用法。

因为1+3+6=10克,所以这架天平最重能称出10克,最轻能称出1克。因此这架天平最多能称出1克到10克之间的10种不同重量的物体,然后我们再对这10类情况进行验证:

①天平左边:物体   右边:1克砝码  能称出1克重的物体;

②天平左边:物体+1克砝码   右边:3克砝码  能称出2克重的物体;

③天平左边:物体   右边:3克砝码  能称出3克重的物体;

④天平左边:物体   右边:3克砝码+1克砝码  能称出4克重的物体;

⑤天平左边:物体+1克砝码   右边:6克砝码  能称出5克重的物体;

⑥天平左边:物体   右边:6克砝码  能称出6克重的物体;

⑦天平左边:物体   右边:6克砝码+1克砝码  能称出7克重的物体;

⑧天平左边:物体+1克砝码   右边:6克砝码+3克砝码  能称出8克重的物体;

⑨天平左边:物体  右边:6克砝码+3克砝码  能称出9克重的物体;

⑩天平左边:物体  右边:6克砝码+3克砝码+1克砝码  能称出10克重的物体。

在列举的过程中可以让孩子慢慢的领悟规律:有1克和3克的砝码,不仅可以称出1克和3克重的物体,还可以称出重量是1克和3克的和或差的物体,依此类推。

所以这架天平最多能称出10种不同重量的物体。

【题目】:1997 的数字和是1+9+9+7=26,在小于2000的四位数中,数字和为26的除了1997外还有几个?

【解析】:小于2000的四位数都是一千多,千位上都是1。数字和为2626-1=25,个、十、百三位上的数字和为2525-9-9=7,因此三个数位上数字最小不能小于7,最大不能大于9。我们根据百位上数字的大小分为三类:

一、百位上数字是7,有1个:1799

二、百位上数字是8,有2个:18891898

三、百位上数字是9,有3个:197919881997;(千位和百位上的数字确定后,十位上数字再按从小到大枚举出所有情况。)

所以符合条件的数共有6个,除了1997外,还有5个。

我们在课堂上遇到的数学问题,一般都可以列出算式,然后求出结果。但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目,由于找不到计算它们的算式,似乎无从下手。但是,如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来,或能被分类列举出来,那么问题就可以通过枚举法获得解决。所谓枚举法,就是根据题目要求,将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来,从而解决问题的方法。

分类枚举的方法可以解答的问题很多。再譬如:

1 小明和小红玩掷骰子的游戏,共有两枚骰子,一起掷出。若两枚骰子的点数和为7,则小明胜;若点数和为8,则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。

分析与解:将两枚骰子的点数和分别为78的各种情况都列举出来,就可得到问题的结论。用ab表示第一枚骰子的点数为a,第二枚骰子的点数是b的情况。

  出现7的情况共有6种,它们是:

  162534435261

  出现8的情况共有5种,它们是:

  2635445362

  所以,小明获胜的可能性大。

注意,本题中若认为出现7的情况有162534三种,出现8的情况有263544也是三种,从而得两人获胜的可能性一样大,那就错了。

2 数一数,右图中有多少个三角形。

 

分析与解:图中的三角形形状、大小都不相同,位置也很凌乱,不好数清楚。为了避免数数过程中的遗漏或重复,我们将图形的各部分编上号(见右图),然后按照图形的组成规律,把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的……再一类一类地列举出来。

  单个的三角形有6个:1 23568

  由两部分组成的三角形有4个:

  (12),(26),(46),(57)。

  由三部分组成的三角形有1个:(578)。

  由四部分组成的三角形有2个:

  (1345),(2678)。

  由八部分组成的三角形有1个:

  (12345678)。

  总共有64121=14(个)。

对于这类图形的计数问题,分类型数是常用的方法。

3 在算盘上,用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数?

分析与解:上珠一个表示5,下珠一个表示1。分三类枚举:

1)两颗珠都是上珠时,可表示500550505500三个数;

2)两颗珠都是下珠时,可表示1001101011002000四个数;

3)一颗上珠、一颗下珠时,可表示5001501051001005105015006000七个数。

  一共可以表示 347=14(个)四位数。

由例13看出,当可能的结果较少时,可以直接枚举,即将所有结果一一列举出来;当可能的结果较多时,就需要分类枚举,分类枚举是我们需重点学习掌握的内容。分类一定要包括所有可能的结果,这样才能不遗漏,并且类与类之间不重叠,这样才能不重复。

4 有一只无盖立方体纸箱,将它沿棱剪开成平面展开图。那么,共有多少种不同的展开图?

分析与解:我们将展开图按最长一行有多少个正方形(纸箱的面)来分类,可以分为三类:

  最长一行有4个正方形的有2种,见图(1)(2);

  最长一行有3个正方形的有5种,见图(3)~(7);

  最长一行有2个正方形的有1种,见图(8)。

  不同的展开图共有2518(种)。

5 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门,他准备每天做一门,且相邻两天不做同一门。如果小明第一天做语文,第五天也做语文,那么,这五天作业他共有多少种不同的安排?

分析与解:本题是分步进行一项工作,每步有若干种选择,求不同安排的种数(有一步差异即为不同的安排)。这类问题简单一些的可用乘法原理与加法原理来计算,而本题中由于限定条件较多,很难列出算式计算。但是,我们可以根据实际的安排,对每一步可能的选择画出一个树枝状的图,非常直观地得到结果。这样的图不妨称为枚举树

  由上图可知,共有6种不同的安排。

6 一次数学课堂练习3道题,老师先写出一个,然后每隔5分钟又写出一个。规定:(1)每个学生在老师写出一个新题时,如果原有题还没有做完,那么必须立即停下来转做新题;(2)做完一道题时,如果老师没有写出新题,那么就转做前面相邻未解出的题。解完各题的不同顺序共有多少种可能?

分析与解:与例5类似,也是分步完成一项工作,每步有若干种可能,因此可以通过画枚举树的方法来求解。但必须考虑到所有可能的情形。

  由上图可知,共有5种不同的顺序。

说明:必须正确理解图示顺序的实际过程。如左上图的下一个过程,表示在第一个5分钟内做完了第1题,在第二个5分钟内没做完第2题,这时老师写出第3题,只好转做第3题,做完后再转做第2题。

7 是否存在自然数n,使得n2n2能被3整除?

分析与解:枚举法通常是对有限种情况进行枚举,但是本题讨论的对象是所有自然数,自然数有无限多个,那么能否用枚举法呢?我们将自然数按照除以3的余数分类,有整除、余1和余2三类,这样只要按类一一枚举就可以了。

n能被3整除时,因为n2n都能被3整除,所以(n2n2÷32

n除以31时,因为n2n除以3都余1,所以(n2n2÷31

n除以 3 2时,因为n2÷31n÷32,所以(n2n2÷32

因为所有的自然数都在这三类之中,所以对所有的自然数n,(n2n2)都不能被3整除。

  练习

1.6拆成两个或两个以上的自然数之和,共有多少种不同拆法?

2.小明有10块糖,如果每天至少吃3块,吃完为止,那么共有多少种不同的吃法?

3.用五个1×2的小矩形纸片覆盖右图的2×5的大矩形,共有多少种不同盖法?

4.15个球分成数量不同的四堆,数量最多的一堆至少有多少个球?

5.数数右图中共有多少个三角形?

6.甲、乙比赛乒乓球,五局三胜。已知甲胜了第一盘,并最终获胜。问:各盘的胜负情况有多少种可能?

7.经理有4封信先后交给打字员,要求打字员总是先打最近接到的信,比如打完第3封信时第4封信还未到,此时如果第2封信还未打完,那么就应先打第2封信而不能打第1封信。打字员打完这4封信的先后顺序有多少种可能?

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