注册 登录  
 加关注
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

数学世界

宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学。

 
 
 

日志

 
 

你听说过四色定理吗   

2010-05-19 13:06:52|  分类: 数学教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |
                                                             你听说过四色定理吗 

太康县城关镇建南小学

1852年,一名伦敦大学毕业生格思里提出猜想:每幅地图都可以只用四种颜色著色,使得有共同边界的国家涂上不同的颜色.为了判定这猜想的真伪,百多年来数学家不断努力.

1976年,数学界发生一件大事,两名美国数学家利用电脑,经过1200小时的运算,最终把四色猜想证明为

在数学史上,有许多有趣的发现,这些发现看似简单,可是却往往难以解答!其中一个这类的问题,就是著名的『四色定理』.这个定理说什麼呢 先让我们来了解一下: 

!
相传,古时候有一个国王,临终前留下一份遗嘱,告诉五位王子,如果想各自立国的话,可以将国土分成五份,但是,每一小国都必须和其他四小国有共同的国界,否则不准分开!

国王去世后,五位王子急忙想分割国土,但是,不论怎麼分,就是无法达成国王的要求,让每一小国都和其他四小国有共同的国界.

    后来,一位大臣拿出一个锦囊,里面放了一封国王亲笔写的信,内容说道:『亲爱的王子们,我的遗嘱是一道永远也解不开的难题,我这样要求是希望你们亲密团结在一起,永远不要分开.』

这个故事不知是真是假,但是,故事里可以知道:如果想将一个区域分成五小块话,绝对不可能让每一小块都与其他小块有共同边.这表示什麼呢 这表示要替一个有五个区域的地图著色的话,最多只需要四色就好了!

西元1852年,一位英国的业余数学家弗朗西斯.格斯里闲来没事,拿起色笔替一份英国的分郡地图著色的时候,突然异想天开:『如果要替所有想像得到的地图著色,而且有共同边相邻的区域都不同色的话,最多需要几种颜色呢 』

    这个问题流传到数学界,许多数学家深入地思考与尝试之后,发现找得到的例子里,都只需要四种颜色就可以了!但是,这不够,必须找出一种严谨的数学证明,可以涵盖任何地图才行.

到了1879年,当时英国的数学家肯普提出一份论文,似乎证明了这个『四色猜想』,而大家也都以为这个问题已经解决了.没想到十一年后的1890年,数学家希伍德找出了肯普的错误,推翻了他的证明.但是希伍德自己却证明出『五色定理』,也就是说最多不会超过五种颜色!

不过后来的进展就非常缓慢了!一直到了1970年,数学家才证明出所有少於三十九个区域的地图,『四色猜想』是对的.

但是,如果有一千个区域,要等到哪一年才能证明出来呢 於是,有人从不同的方向著手,并成功地将无限多的地图简化成1482种基本图.

问题是:每种基本图的颜色组合,就几乎已经等於无限多了,想要以人工来验证这一千多种基本图,根本是不可能的!

还好,电脑的出现,解决了这个难题!在1975年,数学家利用三台当时最先进的大型电脑,总共花了一千两百小时的计算,分析验证了1482种基本图之后,终於证明成功,而使『四色猜想』正式成为『四色定理』!

所谓四色问题, 其叙述非常简单:一张平面地图, 如果要求共边 (只有共点的不算) 之两个区域涂上不同颜色, 则至多只需要四种不同颜色. 

读者可以翻开任何地图册, 不论是世界地图还是台湾的乡镇图, 试著按照上述规则著色, 就会发现 (如果足够认真), 总是使用四种以内的颜色就够了. 读者也可以自己拿一张纸, 画出任意奇特的假想地图, 然后试著著色. 例如以下的假设性地图. 

根据历史上知道的记录, 四色问题首先由英国的 Francis Guthrie 在 1852 提出. 当时他在画英国各郡的地图, 而发现了这个现象. 经过许多实验之后, 他归纳出一个结论, 就是: 最多只需要四种不同颜色, 就可以画任何地图. 他将这个心得告诉了他的兄弟: Frederick Guthrie. 后者又请教了当时英国最主要的数学家: deMorgan. 这个问题首次见於文献, 是在 1878 年, 由 Cayley 所写. 

就在问题传出去之后, 立刻就有所回响. 在 1879 年 Kempe 发表了一个证明; 1880 年 Tait 也发表了一个证明. 事隔十一年后, 这两个证明分别被 Heawood 和 Petersen 发现是有错的. 但是, 两个错误的尝试都有所贡献.

Kempe 的论述, 其实是证明了所谓的五色定理. 也就是说, 只要五种不同颜色就可以为平面地图著色. 而 Tait 的论述, 后来用图论 (graph theory) 的语言写出来, 变成一个和四色问题等价的图论问题. 

由於前人的失败, 四色问题更受到注意, 而开始有些主要的数学家投入这个问题. 1902 年秋季, 闵可夫斯基 (Hermann Minkowsky, 1864--1909) 获得哥丁根 (Gottingen) 的教职 (Hilbert 在那里, 他们从年轻的时候就是好朋友). 不久, 大概是 1903 春季, 他讲授一门拓扑 (topology) 课程. 在课堂上, 他很傲慢地对同学们说, 四色问题之所以还没有被解决, 乃是因为到目前为止, 只有三流的数学家试过这个问题. 他相信他有一个解法, 而且他要在课堂上当场证明四色问题. 一堂课一堂课地过去了, 始终无法结束. 很快地几个礼拜过去了, 他还是不能结束他的证明. 有一天早上, 当他踏上讲台那一刻, 天空打了一个大霹雳. 他平静地对学生说, 一定是老天爷因为他的狂妄自大而发怒了. 然后他承认自己的证明无法成功, 接著就继续讲拓扑的课程. 

1913 年, 美国哈佛大学的 Birkhoff 对这个问题做出了一些贡献. 他的理论使得 Franklin 在 1922 得以证明, 如果地图上的区域不超过 25 个, 则四色问题的猜想是正确的. 同样的想法, 被 Heesch 继续发展, 发现了两个主要的方法: 所谓的 reducibility 和 discharging. 应用这两种方法, 数学家可以将四色问题分解成有限多种状况, 而每种状况都可以在有限步骤内获得验证. 虽然有限, 但是却非常地多. 像这样的问题, 当然电脑是可以帮忙的. 的确有人用了电脑, 那就是在伊利诺大学的 Appel, Haken 和 Koch, 他们在 1977 年发表了由电脑辅助的证明, 证明了四色问题猜想的正确性. 这是有史以来第一个电脑辅助证明, 当时引起许多数学家的疑忌. 

四色问题并未从此结束. 仍有许多在图论, 代数, 拓扑, 统计力学等领域中的研究者, 仍在研究这个问题所衍生出来的新问题, 或是利用它来解决其他领域的问题. 

四色定理趣事一:

1976年的一天,美国伊利诺伊州一座名叫厄巴纳的小镇上的人们惊奇地发现,他们发出的所有信上都盖了一个奇怪的邮戳“Four colors suffice”(四色足够了).他们可能没有意识到,这行小字宣告了一个轰动整个数学界的特大消息:困扰了无数天才一百多年的“四色猜想”,终于被人们征服了!

19世纪末,德国有位天才的数学教授叫闵可夫斯基,他曾是爱因斯坦的老师.爱因斯坦因为经常不去听课,便被他骂作“懒虫”.万万没想到,就是这个“懒虫”后来创立了著名的狭义相对论和广义相对论.闵可夫斯基受到很大震动,他把相对论中的时间和空间统一成“四维时空”,这是近代物理发展史上的关键一步. 

在闵可夫斯基的一生中,把爱因斯坦骂作“懒虫”恐怕还算不上是最尴尬的事……

一天,闵可夫斯基刚走进教室,一名学生就递给他一张纸条,上面写着:“如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色,那么只需要四种颜色就足够了,您能解释其中的道理吗?”   

闵可夫斯基微微一笑,对学生们说:“这个问题叫四色问题,是一个著名的数学难题.其实,它之所以一直没有得到解决,仅仅是由于没有第一流的数学家来解决它.”   

为证明纸条上写的不是一道大餐,只是小菜一碟,闵可夫斯基决定当堂掌勺,问题就会变成定理……

下课铃响了,可“菜”还是生的.一连好几天,他都挂了黑板.后来有一天,闵可夫斯基走进教室时,忽然雷声大作,他借此自嘲道:“哎,上帝在责备我狂妄自大呢,我解决不了这个问题.”

相传,四色问题是一名英国绘图员提出来的,此人叫格思里.1852年,他在绘制英国地图的发现,如果给相邻地区涂上不同颜色,那么只要四种颜色就足够了.需要注意的是,任何两个国家之间如果有边界,那么其边界不能只是一个点,否则四种颜色就可能不够.   

格思里把这个猜想告诉了正在念大学的弟弟.弟弟认真思考了这个问题,结果既不能证明,也没有找到反例,于是向自己的老师、著名数学家德·摩根请教.德·摩根解释不清,当天就写信告诉自己的同行、天才的哈密顿.可是,直到哈密顿1865年逝世为止,也没有解决这个问题.从此,这个问题在一些人中间传来传去,当时,三等分角和化圆为方问题已在社会上“臭名昭著”,而“四色瘟疫”又悄悄地传播开来了.

1878年,凯莱正式向伦敦数学会提出了这个问题.凯莱可是英国响当当的数学家,他看中的问题必定不同凡响.消息传到了律师肯普的耳朵里,引起了他的极大兴趣.不到一年,肯普就提交了一篇论文,声称证明了四色问题.人们以为事情到此就已经完结了.谁知到1890年,希伍德在肯普的文章中找到一处不可饶恕的错误.   

不过,让数学家感到欣慰的是,希伍德没有彻底否定肯普论文的价值,运用肯普发明的方法,希伍德证明了较弱的五色定理.这等于打了肯普一记闷棍,又将其表扬一番,总的来说是贬大于褒.真不知可怜的肯普律师是什么心情.

追根究底是数学家的本性.一方面,五种颜色已足够,另一方面,确实有例子表明三种颜色不够.那么四种颜色到底够不够呢?这就像一个淘金者,明明知道某处有许多金矿,结果却只挖出一块银子,你说他愿意就这样回去吗?

接下去的戏就得由闵可夫斯基来演了.这里得说他几句好话,他虽然没有成功,可自认第一流倒也并非自不量力.要知道,19世纪末20世纪初,德国格丁根大学能成为世界数学中心,就是由于他和希尔伯特、克莱因“三巨头”的努力.四色瘟疫在英国蔓延时,还真没有一个研究过它的数学家比得上闵可夫斯基.

闵可夫斯基为什么对它感兴趣呢?这与当时的数学环境有一定关系.当时其他大数学家为什么不出来说几句话呢?可能他们也钻研过,不过,既然天才的闵可夫斯基都败下阵来,其他人当然也束手无策,于是也就没有历史记载了.

当时,由大数学家黎曼、康托尔、庞加莱等创立的拓扑学之发展可谓一日千里,后来竟盖过大数学家高斯宠爱的数论,成为雍容华贵的数学女王.四色问题就是属干拓扑学范畴的一个大问题.拓扑学不仅引进了全新的研究对象,也引进了全新的研究方式.对数学来说,它不啻是一场革命.

拓扑学是什么?

数学中很多分支都用少数几条定义和公理规定其主要研究对象,这一点决不含糊.研究对象有的更广泛些,有的则特殊一点.举个例子,处在最高端(即最特殊)的有欧氏几何学,研究图形的大小、形状和距离;而在仿射几何中,我们只关心一个图形到另一个图形的投影,大小、距离性质就不那么重要了,形状也有所破坏(如圆变成了椭圆).拓扑学家更是只研究图形在连续变换下不变的性质,因此有戏言:拓扑学家不像几何学家,因为他分不清面包围和杯子.后采到了图论和组合数学,连续性也不要了,只研究一般的关系.这一层一层的分得那么清楚,并不是人们的异想天开,而是来自人们长期积累的直觉经验.    

有一阵子我上班经过一个路口,总要看到一张巨大广告牌上Masgic Q的微笑.当车子呼啸而过,只见Masgic Q的头像逐渐变扁,五官都相对移动了相当大的距离,但似乎不减其美丽.但是,如果仅仅将眼睛或鼻子移动哪怕一点点位置,那她肯定变得不像人样了.其实,这是一个最典型的直觉推动数学的例子.因为从车子上看,Masgic Q的五官是整体移动的,就是仿射变换;但你随意移动她的一个器宫,那就是拓扑变换了.所以,“仿射守美而拓扑不守美”,尽管这谁都明白,但是将拓扑学和仿射几何分开研究的意义也只有数学家才能领悟.

几十年后,Masgic Q变成了老太婆,相当于经过了一种拓扑交换,那时我们还是可能认得出她的.也就是说,这种拓扑变换虽不守美,但由于其存在不变量,所以反映了一定的特征以帮助大脑识别,这已得到科学界的承认.

那么,为什么拓扑学显得重要呢(尤其是在高维空间里)?在欧几里德几何中,人们注重面积、角度之类的细节,但只局限于三角形、圆、长方体等最简单的图形.即便是稍微复杂一点的二次曲线,纯几何就举步维艰了.而研究76面体或45次曲线,显然不应该再在数学家的兴趣范围之内(除非有特殊需要).一旦进入高维空间,数学家必须抛弃细节,强凋另外一些更能体现本质的东西,如不变量、示性数或示性类等.拓扑学中有个多面体的欧拉公式:

这个2就是简单多面体的示性数,因为对于有“洞”的复杂多面体,V+F-E就不再等于2了.   

艺术中也有拓扑学.古代的绘画作品是毫无立体感的,古埃及的人像就是典型.文艺复兴时期,画家们研究了透视法,画面就非常生动、细致,接近于真实场景.到20世纪,毕加索对人的形象进行了“拓扑变换”,鼻子、嘴巴等部移动到夸张的地步.另一位大画家达利也是“切割人体”的高手.事实上,当代绘画艺术的各种派别都强调技法让位于想象力和内心体验,从而创造出传统绘画艺术所不能达到的效果(尽管它决不能取代传统,就像拓扑学不能让欧氏几何滚蛋一样).漫画也保持了某种拓扑不变量,寥寥数笔就把人物的基本特征体现得一清二楚.

回顾拓扑学的历史,就可以说明为什么四色问题对于20世纪数学来说是重要的.通俗地说,连续变换就是你可以捏、拉一个东西,但不能将其扯破,也不能把原先不在一起的两个点粘在一起.比如,对于26个(大写)英文字母,一些拓扑学家就认为可将其分成3类:   

第三类:C,E,F,G,H,l,J,K,L,M,N,S,丁,U,V,W,X,丫,Z.

又如:在球面上,拓扑学认为只有1种圈,因为所有的圈都可以缩成一点;而在有一个“洞”的环面上,就有3种圈,其中只有一种可以缩成点.显然这1、3也分别是球面、环面重要的示性数.那么在有两个“洞”的环面上究竟有几种“圈”呢?请读者考虑.   

因为4是平面的色数(它也是一种示性数,可见示性数有很多种),体现了平面的拓扑性质,与国家的形状无关,将平面弯成曲面也没关系.数学家必须确定这个数究竟是5还是4,这很重要.如果国家分布在一个环面上,画地图最多得要七种颜色.   

吊起数学家胃口的还有一个原因.乍一看,环面似乎更复杂,事实上,环面的七色定理却比较容易证明,希伍德当时就做到了;到1968年,其他所有复杂曲面的色数均已确定,唯有平面(或球面)的四色问题依然故我.看来,平面没有人们想象的那么简单   

1913年,伯克霍夫引进了一些新的技巧,导致1939年弗兰克林证明22国以下的地图都可以用四色着色.1950年,温恩将22国提高为35.1968年,奥尔又达到了39国.1975年有报道,52国以下的地图用四色足够.可见,其进展极其缓慢.   

不过,情况也不是过分悲观.数学家希奇早在1936年就认为,讨论的情况是有限的,不过非常之大,大到可能有10000种.对于巨大而有限的数,最好由谁去对付?今天的人都明白,计算机!

从1950年起,希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形.这时计算机才刚刚发明.两人的思想可谓十分超前.   

1972年起,黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进.到1976年,他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了.于是从1月份起,他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查,历时1200机B寸,作了100亿个判断,最终证明了四色定理.在当地的信封上盖“Four colors sutfice”(四色足够了)的邮戳,就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法.   

人类破天荒第一次运用计算机证明著名数学猜想,应该说是十分轰动的.赞赏者有之,怀疑者也不少,因为真正确性一时不能肯定.后来,也的确有人指出其错误.1989年,黑肯与阿佩尔发表文章,宣称错误已被修改.1998年,托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序,但仍依赖于计算机.无论如何,四色问题的计算机解决,给数学研究带来了许多重要的新思维.   

四色定理趣闻:

烦请研究数学的人士指出我的关于四色定理的想法的错误之处

很多年不学数学了,今天心情不好,就拿关于四色定理的胡思乱想来消磨时间了,想的不对的地方,请高手指出,在下不胜感谢!

以下胡思乱想,是在三维空间里,为什么我们熟悉的空间是三维而不是四维和更多呢,这是我多年都没弄明白的东西。呵呵,就和黎明先生的三生万物是同样的疑问。

1-首先,我觉得曲面(曲率为0时是平面)的性质里,是否有这样一条:一条不封闭的曲线,把它所属于的一个曲面划分成了阴阳两个无法连通的部分?一条封闭的曲线,把它所属于的一个曲面划分成了内外两个无法连通的部分?如果是这样,我接着往下想。

2-那么,在一个曲面上发生的填色问题,是否可以换一种表达方式来表达四色定理:有没有办法在曲面上添加一个封闭曲线5,使得5能够与另外4个两两相邻的封闭曲线都相邻?

如果这种表达成立,我接着往下想。

3-我发现,当三个封闭曲线两两相邻时,曲面本身的性质导致,添加第4个两两相邻的封闭曲线时,必然把4个封闭曲线外的曲面划分成阴阳或者内外两个无法连通的部分,此时将4个封闭曲线相邻线段去掉,则合为2个封闭曲线,不封闭的曲面上表现为内外,封闭的曲面如球面上表现为阴阳。此时,就成了三个不连通世界,中者为2个封闭曲线之间的国度,另两个是阴阳或内外的国度。

如果这种表达成立,我接着往下想。

4-当我试图添加一个封闭曲线5时,我发现除非能通过一个所谓更高维空间的“虫洞”,我不能让它同时与前三个国度相邻,它之能选择中者加上阴阳或内外之一的两个世界,因为曲面被划分了。

如果这种表达成立,则四色定理确实在哲学上获得了证明。

当然,我现在想要知道的是,哲学上的证明与数学上的证明的区别在哪里?

另外,我想知道黎明老先生的证明是不是和我的思路是一回事情?

 

  评论这张
 
阅读(197)| 评论(0)
推荐 转载

历史上的今天

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2018