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数学家简介之五:伟大的业余数学家费尔马  

2010-05-19 09:27:40|  分类: 数学大师 |  标签: |举报 |字号 订阅

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数学家简介之五:伟大的业余数学家费尔马

 

     1994年10月,当普林斯顿大学教授、数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew Wlies)被确认完全正确地证明了费尔马大定理时,人们很难想象,费尔马大定理作为猜想已历时357年了,令人称奇的是此猜想的提出者是一位业余数学家——以律师为职业的法国人费尔马(Fermat),更令人惊讶和费解的是费尔马本人对这个猜想曾宣称:“我确实找到了一个巧妙的证明,但是边页太窄,写不下。”然而费尔马对数学的发展所作出的巨大贡献却远不止于此,他对数论、解析几何、微积分、概率论和几何光学等方面的开创和发展均作出了不可磨灭的巨大贡献。本日志将对费尔马的生平和成就作一简介,我们假设读者具有中学或以上的数学知识。

    费尔马1601年8月17日出生于法国图卢兹,其父是一个皮革商,童年的他接受家庭教育,三十岁时他获得地方议会辯护士的职位,他工作踏实诚恳、谦虚谨慎。在几乎全部的业余时间里,他潜心研究数学,虽然没有发表多少著作和论文,但他以其独特的方式即通信方式与那个时代的杰出的数学家相互交流、切磋最新的数学研究成果,并对他们产生非常大的影响。他的众多的贡献不仅丰富、开拓了许多数学分支,而且一直影响到某些分支的研究方向,例如数论中的丢番图方程的研究。1665年1月12日费尔马与世长辞。

    费尔马与笛卡儿(Descartes)独立的发现了解析几何。甚至可以说费尔马稍早一些。1636年9月他在给友人罗伯瓦的信中说他已经发现七年了。事实上费尔马与笛卡儿是从不同的方向来发现解析几何的,在他去世后才发表的著作《平面和立体的轨迹引论》中,他是用方程给出直线、圆、抛物线、双曲线和椭圆。而笛卡儿则是提出较少几种借助于机械运动定义新曲线。

    费尔马由求解极值问题切入到微分法,当伟大的数学家、物理学家牛顿(Newton)看到时,从而进一步提炼出微积分,费尔马也求出过很多积分。因此在说德国伟大数学家、哲学家莱布尼兹(Leibniz)和牛顿创立了微积分学时,不得不提及费尔马的贡献。

    费尔马与数学家、物理学家帕斯卡在通信中非常有兴趣地讨论了两个赌徒在瓜分赌金时所产生的问题,最后他们合理地解决了此问题。可是当时谁也没有料,费尔马和帕斯卡的研究却开创了一个全新的、应用广泛的数学分支即概率论。

    费尔马在研究光的折射现象,提出了最短时间原理,推导出光的折射定律,可以看作是后来发展的变分法之开始。

    费尔马找出了△ABC中一个点P,使得P点到△ABC三顶点A、B、C的距离之和PA+PB+PC最小。通常我们称点P为△ABC的费尔马点。众所周知的结论是:不妨设∠A为△ABC的最大角,则(1)当∠A<120°时,分别以边长BC、CA、AB向△ABC外侧作等边三角形BDC、CEA、AFB,则这三个等边三角形在△ABC内的交点P即费尔马点;(2)当∠A≥120°时,则顶点A即费尔马点。值得提到的费尔马这一美妙的结果现在还被拓广于关于三角形的几何不等式特别是动点类几何不等式的研究中,并得到一系列优美的结果。关于这点,有兴趣的朋友可搜索我的友人杨学枝、禇小光和刘健三位先生近十年来的研究结果。

    费尔马在数论方面的研究结果更是引人入胜。① 设p为素数,整数a与p互素,则

                a∧(p-1)≡1(mod p)

上式称之为费尔马小定理,是费尔马1640年给德·贝西(De Besy)的信中指出的,直至1736年才由欧拉(Euler)给出第一个证明。② 每一奇素数可用且仅可用一种方法表示为两平方数之差。③ 形如4n+1的素数可表示为两平方数之和。这是费尔马1640年提出的而被欧拉于1754年所证明,同时还证明了其唯一性。④ 费尔马还提出每一非负整数可表为不超过四个平方数之和。1770年法国杰出数学家拉格朗日(Lagrange)给出了证明。⑤ 费尔马曾提出 f(n)=2∧(2∧n)+1对非负整数n均为素数。当时可验证当n=0,1,2,3,4时f(n)分别等于3,5,17,257,6537的确均为素数,可是1732年欧拉证明了f(5)=641*670417为合数,从而关于费尔马数均为素数的猜想不成立。尽管如此,寻求是否还有费尔马形素数至今还在继续进行。⑥ 本篇日志文首提及的费尔马大定理(或称费尔马最后定理)是费尔马对数论研究的最杰出的贡献,它困惑了357年间的几代杰出的数学家们,直至1994年10月终于为怀尔斯所破解。费尔马大定理是这样陈述的:

     设n为大于或等于3的正整数,则方程X∧n+y∧n=z∧n无整数解

    历史上研究费尔马大定理当为具体的n时成立的结果如下:

        n=3     欧拉         1770年

        n=4     费尔马

        n=5     狄利克雷、勒让德   1825年

        n=7     拉梅          1839年

        n<100   库默尔        1844年

        n<125000   瓦格斯塔夫  1926年

        n<41000000   罗瑟      1985年

费尔马大定理好象在与人类的智慧挑战似的,似乎让人们看不见彻底解决的希望。然而曙光在1983年出现了,德国数学家法尔廷斯证明了莫代猜想:x∧2+y∧2=1这样的方程至多有有限个有理数解,从而直接推出 费尔马方程 x∧n+y∧n=z∧n (n≥3)至多有有限组整数解。另一方面,1955年日本数学家谷山丰和志村五郎提出猜想:有理数域上的橢圆曲线都是模曲线。当时谁都没有想到这给日后怀尔斯证明费尔马大定理开辟了一条崭新的途径。1985年,德国数学家弗雷及佩尔指出了谷山—志村猜想与费尔马大定理之间的联系即:如果费尔马大定理不成立则谷山—志村猜想亦不成立。1986年美国数学家里贝林证明了弗雷、佩尔的命题。1993年6月怀尔斯宣布他证明了谷山—志村猜想对半稳定的椭圆曲线成立,从而费尔马大定理成立,因为与费尔马大定理相关联的那条橢圆曲线是半稳定的。后来数学家们在怀尔斯的冗长的证明中找到一点小漏洞,经怀尔特和其学生泰勒又一年零二个月的努力,克服了这一小漏洞,终于在1994年10月修成正果,完全证明了费尔马大定理。而怀尔斯因此荣获1998年的菲尔兹数学奖。

    律师费尔马不愧为有史以来最伟大的业余数学家!

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