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数学世界

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两道非常规数学题  

2010-05-08 19:29:09|  分类: 解题方法 |  标签: |举报 |字号 订阅

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两道非常规数学题 

下面是一道非常规数学题:

若干箱货物总重19.5吨,每箱重量不超过353千克,今有载重量为15吨的汽车,至少需要多少辆,才能把这些箱货物一次全部运走?

有人可能认为19.5÷1.5=13,因此只需要13辆汽车就可以把这些箱货物一次全部运走了。这就完全把题意理解错了。因为货物是整箱装的,每辆汽车不一定都能满载。请先看一个反例,它说明15辆汽车也不一定能一次运完。

假设这批货物共有65只箱子,其中64只箱子的质量都是301千克(不超过353千克),另1只箱子的重量是236千克,那么总重量为301×64+236=19500(千克)。这恰好符合19.5吨的要求。

由于301×5=1505(千克),即5只重量为301千克的箱子的总和超过1.5吨,因此,每辆汽车最多只能装4只重量为301千克的箱子,15辆汽车一次最多只能装4×15=60(只)重量为301千克的箱子。这样,必然有4只重量为301千克的箱子无法再装运了。

既然15辆汽车物流如何无法一次运完上例中的65只箱子,那么16辆汽车能不能一次运完这些箱货物呢?答案是肯定的。

事实上301×42361440(千克)这不超过1.5吨。 这就是说,再有一辆汽车可以装4只重量为301千克的箱子,并外加1只重量为236千克的箱子。

所以,16辆汽车足够一次运完这些箱货物。

问题到这里仍然没有彻底解决。因为上面只是一种情况,而每只箱子的重量只要求不超过353千克,没有其他的限制,我们还要验证一般情况,16辆汽车也能全部运完。

首先让12辆汽车装到刚刚超过1.5吨,取下最后一只箱子,就不超过1.5吨,那么取下的12只箱子分别装上3辆汽车,每车4箱,4箱总重量不超过 353×41412(千克)

这时,15辆车装完原12辆汽车的全部货物,总重量超过1.5×1218(吨) 且每辆汽车不超过1.5吨。

余下的货物不足 19.5181.5(吨) ,可以全部装在第16辆汽车上运走。

此题是根据前苏联莫斯科第19届数学奥林匹克(1956年)的试题改编而成的。原题是:若干箱货物共重10吨,已知每个箱子的重量不超过1吨,证明这批货物至少需要5辆载重量为3吨的汽车才能一次运完。

读者朋友,请你试一试吧!

这里还有一道非常规数学题:

火车站的行李房有一辆电瓶车,它整天不停地给各次列车的行李车厢运送行李。每件行李限重400千克,而电瓶车的最大载荷是3吨,因为行李很多,总是积压,所以每次电瓶车都尽最大可能地多装。由于每件行李不能拆开,请问电瓶车每次最少装多少重量?

3000÷400=7……200。按最大件行李算,每车至少可装7件,就是根据这个7,我们可以断言:一次最少能装7/8车载量。证明如下:

如果至少有7件行李重量都超过1/8车载量,那么装上这7件行李就超过7/8车载量,这种情形下,我们的断言是正确的。

如果顶多有6见行李的重量超过1/8车载量,则先尽量往车上装行李,当行李的重量刚刚过了超载时限时,此时从车上最轻的行李开始,逐件卸下轻的行李(不足1/8车载量)。这过程中,总会遇到这样一件行李,当它还没有卸下车时,车上的行李的总重量是超过限载量的,而当这件行李卸下之后,车上行李的总重量就低于车子的限载量了。因为最后一件行李不足1/8车载量,所以此时车子上的行李总重量仍超过7/8车载量,这种情形下,我们的断言还是正确的。

那么还能不能保证再多装一些呢?请看例子:若件件行李重量刚刚超过1/8车载量,装了7件行李之后就不能再装了。车子装载量也就是刚刚超过7/8车载量的一点点,这个一点点可以很小很小,所以就是7/8车载量不能再多了。

练习:今有若干只箱子共重10吨,每只箱子重量都小于1吨。用载重3吨的汽车运这些箱子,至少要几辆才行?

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