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极端假设为特例 任意假设才一般  

2010-08-05 13:21:29|  分类: 数学问题 |  标签: |举报 |字号 订阅

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极端假设为特例 任意假设才一般

河南省太康县城关镇建南小学   师亚军

众所周知:鸡兔同笼问题是中国古代著名的数学问题。大家最熟悉的解题方法是假设法,而且是极端假设法。殊不知:任意假设法才是解决鸡兔同笼问题的最一般方法。

例题:鸡兔同笼,上有40个头,下有100只足。鸡兔各有多少只?

笔者在《鸡兔同笼问题探析》一文中,曾用四种极端假设法解答此题。今摘要如下:

解法一:假设40个头都是鸡,那么应有足2×40=80(只),比实际少100-80=20(只)。这是把兔看作鸡的缘故。而把一只兔看成一只鸡,足数就会少4-2=2(只)。因此兔有20÷2=10(只),鸡有40-10=30(只)。

解法二:假设40个头都是兔,那么应有足4×40=160(只),比实际多160-100=60(只)。这是把鸡看作兔的缘故。而把一只鸡看成一只兔,足数就会多4-2=2(只)。因此鸡有60÷2=30(只),兔有40-30=10(只)。

解法三:假设100只足都是鸡足,那么应有头100÷2=50(个),比实际多50-40=10(个)。把兔足看作鸡足,兔的只数(头数)就会扩大4÷2倍,即兔的只数增加(4÷2-1)倍。因此兔有10÷(4÷2-1=10(只),鸡有40-10=30(只)。

解法四:假设100只足都是兔足,那么应有头100÷4=25(个),比实际少40-25=15(个)。把鸡足看作兔足,鸡的只数(头数)就会缩小4÷2倍,即鸡的只数减少1-1÷(2÷4=1/2。因此鸡有15÷1/2=30(只),兔有40-30=10(只)。

解法一与解法二假设的是头;解法三与解法四假设的是足,分属两个类型。下面对应地提出两种任意假设法(解法五与解法六)。

解法五:假设40个头中,鸡有12个(040中的任意整数),则兔有40-12=28(个),那么它们一共有足2×12+4×28=136(只),比实际多136-100=36(只)。这说明有一部分鸡看作兔了,而把一只鸡看成一只兔,足数就会多4-2=2(只),因此把鸡看成兔的只数是36÷2=18(只)。那么鸡实际有12+18=30(只),兔实际有28-18=10(只)。

解法六:假设100只足中,有鸡足80只(0100中的任意整数,最好是2的倍数),则兔足有100-80=20(只),那么它们一共有头80÷2+20÷4=45(个),比实际多45-40=5(个)。这说明把一部分兔足看作鸡足了,而把兔足看成鸡足,兔的只数(头数)就会增加(4÷2-1)倍。因此把兔看作鸡的只数是5÷(4÷2-1=5(只),那么兔实际有20÷4+5=10(只),鸡实际有40-10=30(只)。

通过比较可知:任意假设是极端假设的一般形式,而极端假设是任意假设的特殊形式,也是简便解法。

鸡兔同笼问题还可以用“比例分配”、“盈不足术”、“取零递增”和“布列方程”等方法解答。

但,笔者认为:任意假设法应是鸡兔同笼问题的基本解题方法。对于“巧妙解法”与“一般解法”,笔者在《小学应用题教学亟待改革》一文中,是这样论述的:教学应用题时,多数教师都满足于学生掌握了多种巧妙解法,对一般思路不作深层次多角度分析。事实上,不少应用题都有多种解法。经过比较,可以看出有的是巧妙解法,而有的则是一般思路。

巧妙解题虽然对培养学生思路的灵活性有着不可估量的作用,但是,巧妙解法针对性强,适用范围窄;对多数学生来讲,思考难度大,不易接受。而一般思路具有很强的适应性,能够解决一类问题,是建模的基础。对于一题多解的题目,教师既要鼓励学生运用巧妙解法,更要掌握一般思路。只有两者兼顾和并重,才能使学生有选择的余地,也才能使更多的学生掌握必备的、有用的数学基础知识,使每一位学生得到发展和提高。

 

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