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地可分 牛可分 唯有时间不可分  

2010-08-07 14:49:24|  分类: 中小学数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自建南星空《静夜思》

地可分,牛可分  唯有时间不可分

河南省太康县城关镇建南小学(461400 师亚军

2010年第9期《中小学数学》(小学版)刊发了笔者的文章《诸量交错牛吃草 多策凸显静制动》,文章为“牛吃草问题”编写了解题口诀。口诀是:连乘求总量,比较消同量。归一求变量,乘减原有量。认清两种量,分解工作量。固定变化量,消灭不变量。

“牛吃草问题”相传是英国科学家伊萨克·牛顿提出来的。原题是:牧场上一片青草,每天牧草都匀速生长。如果27头牛6周吃完,23头牛9周吃完,那么21头牛几周吃完?

算术法解答“牛吃草问题”很经典,它需要很高的解题技巧。对于“牛吃草”的变式题更是如此。下面的问题,解题的关键是化归成标准的“牛吃草问题”,然后才能按照上述口诀解答。

有三块草地,面积分别是568公顷。草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃20天,第二块草地可供18头牛吃12天。问第三块草地可供64头牛吃多少天?

由于三块草地的面积不相等,所以,不但原有的草量不相等,而且每天增长的草量也不相等。因此不能“比较消同量(原有量)”,也不能“归一求变量(增加量)”。

“山穷水复疑无路,柳暗花明又一村。”怎么办呢?急中生智。首先想到:如果面积相等,那么原有的草量相等,每天增长的草量也相等。于是就有了“地可分,牛可分,唯有时间不可分”的想法。

对于第一块草地,把地平均分成5份,每份的面积是5÷5=1(公顷);把牛数也平均分成5份,每份是10÷5=2(头),所需时间(20天)不变。即每公顷可供2头牛吃20天。

同样,把第二块草地的面积和牛数都平均分成6份,6÷6=1(公顷),18÷6=3(头),所需时间(12天)不变。即每公顷可供3头牛吃12天。

那么,第三块草地,64÷8=8(头),每公顷共8头牛吃的时间等于8公顷供64头牛吃的时间。

实际上,原题变为:1公顷草地,可供2头牛吃20天,可供3头牛吃12天。问可供8头牛吃多少天?

假设每头牛每天吃的草量为1,那么1公顷草地每天生长的的草量是:(1×2×20-1×3×12)÷(20-12=0.5,而1公顷草地原有的草量则是1×2×20-0.5×20=30,或者1×3×12-0.5×12=30。故知:1公顷供8头牛吃,需用的时间是30÷(8-0.5=4(天)。

原题的答案就是:第三块草地(8公顷)可供64头牛吃4天。

需要注意的是,按地可分牛,却不能按地分时间。譬如:5公顷草地(第一块)可供10头牛吃20天,可以转化为:1公顷草地可供2头牛吃20天,却不能转化为:1公顷草地可供10头牛吃4天。想一想,这是为什么呢?原来是:时间不变,草地面积与牛的头数成正比。但是,如果牛的头数不变,草地面积与时间却不成正比。

这正是:地可分,牛可分,唯有时间不可分;地牛关系成正比,按地分牛找平均。草地面积变相等,原量增量同一新。所用时间均不变,化归思想梦成真。

练习题:有三块草地,第二块草地的面积是第一块的3倍,第三块草地是第一块的5倍。草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃15天,第二块草地可供24头牛吃20天。问第三块草地可供60头牛吃多少天?

分析与解:以“第一块草地的面积”为标准,把第二块的“地”和“牛”都平均分成3份。每份地24÷3=8(头)牛吃20天。把第三块的“地”和“牛”都平均分成5份,每份地60÷5=12(头)牛吃多少天呢?这个天数与第三块草地60头牛吃的天数相等。

第一块草地的全部、第二块草地的三分之一和第三块草地的五分之一,面积相等。它们的牛数和吃的天数,情况如下:

10头牛吃15天。

8头牛吃20天。

12头牛吃?天。

这样就化归成标准的“牛吃草问题”:一块草地,10头牛吃15天,8头牛吃20天,12头牛吃多少天?

每天生长的新草:(8×2010×15)÷(2015=2

开始吃前的老草:(10-2)×15=120,或者(82)×20=120

12头牛吃的天数:120÷(12-2=12(天)




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