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数学世界

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关键是揭示和解释规律  

2010-08-07 14:49:59|  分类: 数学问题 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自建南星空《静夜思》

探讨与争鸣

关键是揭示和解释规律

河南省太康县城关镇建南小学(461400) 师亚军

《中小学数学》(小学版)2009年第9期刊发了《一道“奥数题”的解法及功能》,在之后的2010年第9期又以《数形结合更有效》为题,再次对这道“奥数题”进行了探究和挖掘。

原题是:某班有60人,42人会游泳,46人会骑车,50人会溜冰,55人会打乒乓球。可以肯定至少有多少人四项都会?

笔者曾深入地研究过此类问题,也曾得到过一些规律性的东西。虽然揭示了规律,但总是无法去圆满解释这个规律。今提出来,以便让更多的人来探讨,去争鸣。

初次见到这类题,第一感觉是缺少条件。接着,静心思考,从“至少”入手,也像《数形结合更有效》的作者一样以退为进,难的不会想简单,从解决“至少两项都会的人数”开始,到解决“至少三相都会的人数”,最终解决了“至少四项都会的人数”。不同的是,笔者从中揭示了一般规律。

解题的总原则也是尽量不让重叠。但可以以任意的顺序来揭示下面的规律。

1、至少有多少人两项都会

先从“42人会游泳”开始,不会游泳的有60-42=18人。再让“会骑车的46人”加入,为了使两项都会的人数达到“至少”,骑车的人尽量从“不会游泳的18人”里面考虑,而不够的46-18=28(人),也只能与“会游泳的”重叠了。即游泳和骑车两项都会的至少有46-18=28(人)。

综合算式:46-60-42=28(人)……(算式一)

2、至少有多少人三项都会

游泳和骑车两项都会的至少有28人,那么游泳和骑车两项不同时会的至多有60-28=32(人)。接着让“会溜冰的50人”加入,为了使三项都会的人数达到“至少”,溜冰的人尽量从“游泳和骑车两项不同时会的32人”里面考虑,而所缺的50-32=18(人),也必然与“游泳和骑车两项都会的”重叠了。即游泳、骑车和溜冰三项都会的至少有50-32=18(人)。

综合算式:50-60-28=18(人)……(算式二)

3、至少有多少人四项都会

游泳、骑车和溜冰三项都会的至少有50-32=18人,那么游泳、骑车和溜冰三项不同时会的至多有60-18=42(人)。最后让“会打乒乓球的55人”加入,为了使四项都会的人数达到“至少”,打乒乓球的人尽量从“游泳、骑车和溜冰三项不同时会42人”里面考虑,而剩下的55-42=13(人),也只好与“游泳、骑车和溜冰三项都会的”重叠了。即游泳、骑车、溜冰和打乒乓球四项都会的至少有55-42=13(人)。

综合算式:55-60-18=13(人)……(算式三)

4、揭示一般规律

如果把算式一、算式二和算式三进行整理,可分别得到如下结果:

1)两项都会至少有:42+46-60=28(人)

2)三相都会至少有:42+46+50-60×2=28(人)

3)四项都会至少有:42+46+50+55-60×3=13(人)

这个规律,用语言叙述为:求n项都会的至少人数,就是把n项中每项的人数相加,再减去(n-1)个整体。

5、如何解释这个规律

笔者曾试图解释这个规律,认为:在(42+46+50+55)人中,有的只会一项,有的只会两项,有的只会三项,有的只会四项。而只会一项的至多60人,只会两项的至多也是60人,只会三项的至多也是60人,所以要减去360。故知:四项都会的至少有:42+46+50+55-60×3=13(人)。

后来想想,这是多么牵强的解释呀!

可喜的是,就在本文“杀青”的时候,笔者竟然有了意外收获:欲使四项都会的人数达到“至少”,这60人中每人至少要会三项。也就是说,任何人不可能只会一项,也不可能只会两项。再说明白点,就是这60人中有的会三项,有的会四项。

42+46+50+55)人,把会三项的计算了三次,把会四项的计算了四次。就是说,(42+46+50+55)人,除把60人每人计算了三次外,把会四项的又计算了一次。故知:四项都会的至少有:42+46+50+55-60×3=13(人)。

 

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