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数学世界

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怎样解释抽屉原理  

2011-04-19 09:49:13|  分类: 解题方法 |  标签: |举报 |字号 订阅

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怎样解释抽屉原理

太康县城关镇建南小学 师亚军

一、抽屉原理的数学思想

3个苹果放进2个抽屉里,一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。为什么?

1假设与反证和最不利原则

假设每个抽屉里放的苹果都不超过2个,按最不利的情况考虑,每个抽屉里放一个苹果。这样,就会剩下3-1×2=1(个)。这个苹果无论放哪个抽屉里,都会有一个抽屉里达到2个。

2个体与整体和平均思想

与平均数相比,个体不可能都小于整体的平均数。3÷2=1.5,至少有一个抽屉里的苹果多于1.5个。即至少有一个抽屉里的苹果是2个或2个以上。

也可以写成:

3÷2=1……1

1+1=2

二、 抽屉原理的知识要点

抽屉原理又称鸽巢原理,它是组合数学的一个基本原理,最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的,因此,也称为狭利克雷原理。

3个苹果放进2个抽屉里,一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。

原理1:把n+1个元素分成n类,不管怎么分,则一定有一类中有2个或2个以上的元素。

    原理2m个元素放入n个抽屉,则在其中一个抽屉里至少会有 [m-1/n]+1个元素。

原理3:把无穷多个元素放入有限个集合里,则一定有一个集合里含有无穷多个元素。

三、 应用抽屉原理解题的步骤

第一步:分析题意。分清什么是东西,什么是抽屉,也就是什么作东西,什么可作抽屉

第二步:制造抽屉。这个是关键的一步,这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论,结合有关的数学知识,抓住最基本的数量关系,设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数,为使用抽屉铺平道路。

第三步:运用抽屉原理。观察题设条件,结合第二步,恰当应用各个原则或综合运用几个原则,以求问题之解决。

四、典型例题

1 教室里有5名学生正在做作业,今天只有数学、英语、语文、地理四科作业

求证:这5名学生中,至少有两个人在做同一科作业。

证明:将5名学生看作5个苹果

将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉,共4个抽屉

由抽屉原理1,一定存在一个抽屉,在这个抽屉里至少有2个苹果。

即至少有两名学生在做同一科的作业。

2 木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出的球中有两个球的颜色相同,则最少要取出多少个球?

解:把3种颜色看作3个抽屉

若要符合题意,则小球的数目必须大于3

大于3的最小数字是4

故至少取出4个小球才能符合要求

答:最少要取出4个球。

3 班上有50名学生,将书分给大家,至少要拿多少本,才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。

解:把50名学生看作50个抽屉,把书看成苹果

根据原理1,书的数目要比学生的人数多

即书至少需要50+1=51

答:最少需要51本。

4 在一条长100米的小路一旁植树101棵,不管怎样种,总有两棵树的距离不超过1米。

解:把这条小路分成每段1米长,共100

每段看作是一个抽屉,共100个抽屉,把101棵树看作是101个苹果

于是101个苹果放入100个抽屉中,至少有一个抽屉中有两个苹果

即至少有一段有两棵或两棵以上的树

5 11名学生到老师家借书,老师是书房中有ABCD四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本

试证明:必有两个学生所借的书的类型相同

证明:若学生只借一本书,则不同的类型有ABCD四种

若学生借两本不同类型的书,则不同的类型有ABACADBCBDCD六种

共有10种类型

把这10种类型看作10抽屉

11个学生看作11苹果

如果谁借哪种类型的书,就进入哪个抽屉

由抽屉原理,至少有两个学生,他们所借的书的类型相同

6 50名运动员进行某个项目的单循环赛,如果没有平局,也没有全胜

试证明:一定有两个运动员积分相同

证明:设每胜一局得一分

由于没有平局,也没有全胜,则得分情况只有123……49,只有49种可能

以这49种可能得分的情况为49个抽屉

现有50名运动员得分

则一定有两名运动员得分相同

7 体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球,某班50名同学来仓库拿球,规定每个人至少拿1个球,至多拿2个球,问至少有几名同学所拿的球种类是一致的?

解题关键:利用抽屉原理2

解:根据规定,多有同学拿球的配组方式共有以下9种:

{足}{排}{蓝}{足足}{排排}{蓝蓝}{足排}{足蓝}{排蓝}

以这9种配组方式制造9个抽屉

将这50个同学看作苹果

50÷95……5

由抽屉原理2k=〔 〕+1可得,至少有6人,他们所拿的球类是完全一致的。

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