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数学世界

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日志

 
 

刨根问底  

2011-05-24 09:01:11|  分类: 转载引用 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自讲古怪的故事《刨根问底》

有一个数学史上很著名的故事,是虚构的,不是真实发生的,不过在数学领域很重要,最后也影响了哲学,还有其他方方面面。

故事是这样的:很久以前,只能是很久以前,有一个村子,必须是村子,村子里有一个理发师,只有一个理发师,村子的规模就那么大,理发师多了,要饿死的。因为只有一个理发师,而这个理发师很天才地制造了一个问题,绝对天才,因为这个问题不是深思熟虑制造出来的。理发师定了一条规矩:给村子里所有不能理发的人理发。这条规矩乍看没问题,等到落实,问题就出来了,理发师的头谁来理?除了理发师,没有会理发的了,所以理发师不能指望别人,可是自己给自己理发,等于坏了规矩,给会理发的人理发了。

这个结论的前后冲突,或者说逻辑上的冲突,后来有一个名词,叫做悖论,这个故事也叫理发师悖论。悖论一直都存在,只不过人们不是一开始就发现的,而是那种没完没了的刨根问底之后,终于走到了这个门槛前。

这个悖论,在生活中是不会那么纠结的,大不了就是坏规矩,这坏规矩也算不得坏了什么事,理发总还是要做的事情,中国人说:活人不能给尿憋死。这理发师也不能为了谁给理发的问题憋死,即使不憋死,也不能头顶个鸟窝的阵势,那不糗了。然而数学向来是抽象的,抽象不是因为无聊,而是因为思考,悖论的出现,给一向逻辑严密的数学,出了个大难题,不同于自相矛盾,悖论本身没有逻辑错误,但是结果就是那么诡异。

世界上的很多事情,表面上很好理解,然而深究起来,往往我们以为理所当然的事情,结果却不是那么靠得住。欧几里得几何,或者说平面几何,是一门基础的数学课,可以有用,也可以无用,几何的逻辑性,在这门课里面其实是充分体现的。

逻辑里面有一个基本的推导,叫做三段论,通过大前提,加上小前提,得出结论,这是逻辑的基础,也是几何学的基础,当然也是科学思辨的基础。在几何学里面,公理定理都可以作为大前提,直接引用,一个正确的结论,离不开正确的大前提小前提,大前提不正确的话,结论也就站不住了,而定理则是证明过的,已经被证明正确的定理自然可以引用,当然还有一些不需要证明的公理。不过作为一个完整的体系,公理不会太多,尽量精简,平面几何的公理很有限,另外还加了几条公设,也是反复推敲,才落定的。

即便这样,平行线不相交这个结论也是被反复质疑,虽然说不上推翻结论,由此引出了另外一个分支,非欧几何,对于日常生活来说,非欧几何当然还是没有用的,然而,这门数学分支,日后却成为现代物理的重要工具。对于第五公设(也就是平行公设)的不断推敲,本意只是为了简化,也是追本溯源,结果无心插柳,成就了一门数学分支。

宗教的派别里面,有一种叫做原教旨的,就是追溯教派最初始的理念,而这种思维逻辑,与几何的思维差不多。然而这种刨根问底,总是会惹是生非的,有点令人不爽,于是这类刨根问底的,又会被归到“钻牛角尖”那类去。从小的教导是“打破砂锅问到底”,可是真的要打破砂锅下去,才发现自己不是司马光,后果很严重,往往不招人待见,这世界其实都挺叶公好龙的。

有句话:真理不辨不明。从学科来说,数学讲思维,讲论证,证明成立的叫做定理,比如勾股定理;物理也重思维,不过还有实验,实践是检验真理的标准,实验证明的是定律,比如牛顿定律。无论定理定律,都可以作为已经证明的真理,也就是作为逻辑推理的前提之一(不管是大前提小前提),是结论正确的保证之一。

实践的重要性不言而喻,在科学领域,实验证明也是不可或缺,但是有些实验毕竟有很高的经济代价,科学研究中依然离不开逻辑演绎,还有虚拟的仿真实验,所谓仿真,也就不是真正的做一遍,很多时候,逻辑推演虽然不能创造什么,但是有一样好处,可以检查逻辑的正确性,一个逻辑不严密的决策过程,总会留下瑕疵的,当然有些是因为信息不充足,有些则是有意为之,不管出于什么动机,逻辑分析,总是有利于一些预防措施的,虽然会冒出一些怪话。

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