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数学世界

宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学。

 
 
 

日志

 
 

小学数学典型应用题(2)  

2012-12-07 09:25:35|  分类: 转载引用 |  标签: |举报 |字号 订阅

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16 、正反比例问题

【含义】    两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定),那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

【数量关系】  判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷。

【解题思路和方法】  解决这类问题的重要方法是:把分率(倍数)转化为比,应用比和比例的性质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例1    修一条公路,已修的是未修的1/3,再修300米后,已修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米?

解  由条件知, 公路总长不变。

原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12

现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12

比较以上两式可知,把总长度当作12份,则300米相当于(4-3)份,从而知公路总长为   

                                300÷(4-3)×12=3600(米)

                                    答: 这条公路总长3600米。

例2    张晗做4道应用题用了28分钟,照这样计算,91分钟可以做几道应用题?

解  做题效率一定,做题数量与做题时间成正比例关系

设91分钟可以做X应用题  则有  28∶4=91∶X

28X=91×4    X=91×4÷28     X=13

                                    答:91分钟可以做13道应用题。

例3    孙亮看《十万个为什么》这本书,每天看24页,15天看完,如果每天看36页,几天就可以看完?

解  书的页数一定,每天看的页数与需要的天数成反比例关系

设X天可以看完,就有  24∶36=X∶15   36X=24×15   X=10

                                    答:10天就可以看完。

例4    一个大矩形被分成六个小矩形,其中四个小矩形的面积如图所示,求大矩形的面积。


A                                                 

25

20

36

B

16


            解   由面积÷宽=长可知,当长一定时,面积与宽成正比,所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等,第二行三个小矩形的宽也相等。因此,A∶36=20∶16

        25∶B=20∶16   解这两个比例,得  A=45  B=20

        所以,大矩形面积为  45+36+25+20+20+16=162

                                        答:大矩形的面积是162

 

17、按比例分配问题

【含义】    所谓按比例分配,就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式:一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数,另一种是直接给出份数。

【数量关系】  从条件看,已知总量和几个部分量的比;

                       从问题看,求几个部分量各是多少。  总份数=比的前后项之和

【解题思路和方法】  先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几,把比的前后项相加求出总份数,再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母,比的前后项分别作分子),再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法,分别求出各部分量的值。

例1    学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三个班各植树多少棵?

            解  总份数为           47+48+45=140

                     一班植树    560×47/140=188(棵)

                     二班植树    560×48/140=192(棵)

                     三班植树    560×45/140=180(棵)

           答:一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

例2    用60厘米长的铁丝围成一个三角形,三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米?

            解  3+4+5=12    60×3/12=15(厘米)  60×4/12=20(厘米)

                60×5/12=25(厘米)

            答:三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。

例3    从前有个牧民,临死前留下遗言,要把17只羊分给三个儿子,大儿子分总数的1/2,二儿子分总数的1/3,三儿子分总数的1/9,并规定不许把羊宰割分,求三个儿子各分多少只羊。

            解  如果用总数乘以分率的方法解答,显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解,则很容易得到   1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2

         9+6+2=17    17×9/17=9   17×6/17=6    17×2/17=2

            答:大儿子分得9只羊,二儿子分得6只羊,三儿子分得2只羊。

例4    某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21,第一车间比第二车间少80人,三个车间共多少人?


   人  数

   80人

一共多少人?

对应的份数

   12-8

8+12+21


            解  80÷(12-8)×(8+12+21)=820(人)

                                       答:三个车间一共820人。

 

18 、百分数问题

【含义】    百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分,而百分数则无需;分数既可以表示“率”,也可以表示“量”,而百分数只能表示“率”;分数的分子、分母必须是自然数,而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号“%”。

            在实际中和常用到“百分点”这个概念,一个百分点就是1%,两个百分点就是2%。

【数量关系】  掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系:

                       百分数=比较量÷标准量    标准量=比较量÷百分数

【解题思路和方法】   一般有三种基本类型:

(1)       求一个数是另一个数的百分之几;

(2)       已知一个数,求它的百分之几是多少;

(3)       已知一个数的百分之几是多少,求这个数。

例1    仓库里有一批化肥,用去720千克,剩下6480千克,用去的与剩下的各占原重量的百分之几?

        解  (1)用去的占    720÷(720+6480)=10%

            (2)剩下的占    6480÷(720+6480)=90%

                                         答:用去了10%,剩下90%。

例2    红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,男职工人数比女职工少百分之几?  

        解   本题中女职工人数为标准量,男职工比女职工少的人数是比较量,  所以   

                        (525-420)÷525=0.2=20% 

                    或者  1-420÷525=0.2=20%

                                         答:男职工人数比女职工少20%。

例3    红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,女职工比男职工人数多百分之几?  

        解  本题中以男职工人数为标准量,女职工比男职工多的人数为比较量,因此   

                       (525-420)÷420=0.25=25% 

                     或者  525÷420-1=0.25=25%

                                        答:女职工人数比男职工多25%。

例4    红旗化工厂有男职工420人,有女职工525人,男、女职工各占全厂职工总数的百分之几?

           解  (1)男职工占  420÷(420+525)=0.444=44.4%

               (2)女职工占  525÷(420+525)=0.556=55.6%

           答:男职工占全厂职工总数的44.4%,女职工占55.6%。

例5    百分数又叫百分率,百分率在工农业生产中应用很广泛,常见的百分率有:

                 增长率=增长数÷原来基数×100%  

                 合格率=合格产品数÷产品总数×100%

                 出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%

                 出勤率=实际出勤天数÷应出勤天数×100%

                 缺席率=缺席人数÷实有总人数×100%

                 发芽率=发芽种子数÷试验种子总数×100%

                 成活率=成活棵数÷种植总棵数×100%

                 出粉率=面粉重量÷小麦重量×100%

                 出油率=油的重量÷油料重量×100%

                 废品率=废品数量÷全部产品数量×100%

                 命中率=命中次数÷总次数×100%

                 烘干率=烘干后重量÷烘前重量×100%

                 及格率=及格人数÷参加考试人数×100%

 

19 、“牛吃草”问题

【含义】    “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】    草总量=原有草量+草每天生长量×天数

【解题思路和方法】  解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1    一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?

        解  草是均匀生长的,所以,草总量=原有草量+草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”,就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话,得有多少头牛?    设每头牛每天吃草量为1,按以下步骤解答:

            (1)求草每天的生长量

        因为,一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草,即(1×10×20);另一方面,20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量,所以

                      1×10×20=原有草量+20天内生长量

        同理          1×15×10=原有草量+10天内生长量

    由此可知  (20-10)天内草的生长量为  1×10×20-1×15×10=50

        因此,草每天的生长量为    50÷(20-10)=5

            (2)求原有草量

        原有草量=10天内总草量-10内生长量=1×15×10-5×10=100

            (3)求5 天内草总量

        5 天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125

            (4)求多少头牛5 天吃完草

        因为每头牛每天吃草量为1,所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数    125÷5=25(头)

                                     答:需要5头牛5天可以把草吃完。

例2    一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水,3小时可以淘完;如果只有5人淘水,要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?

            解  这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是,最后一问给出了人数(相当于“牛数”),求时间。设每人每小时淘水量为1,按以下步骤计算:

            (1)求每小时进水量

    因为,3小时内的总水量=1×12×3=原有水量+3小时进水量

        10小时内的总水量=1×5×10=原有水量+10小时进水量

    所以,(10-3)小时内的进水量为    1×5×10-1×12×3=14

    因此,每小时的进水量为    14÷(10-3)=2

            (2)求淘水前原有水量

         原有水量=1×12×3-3小时进水量=36-2×3=30

            (3)求17人几小时淘完

    17人每小时淘水量为17,因为每小时漏进水为2,所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2),所以17人淘完水的时间是    30÷(17-2)=2(小时)

                                          答:17人2小时可以淘完水。

       

20 、鸡兔同笼问题

【含义】    这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

 

【数量关系】第一鸡兔同笼问题:

             假设全都是鸡,则有  兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)

             假设全都是兔,则有  鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)

             第二鸡兔同笼问题:

             假设全都是鸡,则有       兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)

             假设全都是兔,则有       鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)

【解题思路和方法】  解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设,再置换,使问题得到解决。

例1    长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五,脚数共有九十四。请你仔细算一算,多少兔子多少鸡?

            解  假设35只全为兔,则  鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)

                                     兔数=35-23=12(只)

        也可以先假设35只全为鸡,则  兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)

                                     鸡数=35-12=23(只)

                                        答:有鸡23只,有兔12只。

例2    2亩菠菜要施肥1千克,5亩白菜要施肥3千克,两种菜共16亩,施肥9千克,求白菜有多少亩?

            解  此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥(1÷2)千克”与“每只鸡有两个脚”相对应,“每亩白菜施肥(3÷5)千克”与“每只兔有4只脚”相对应,“16亩”与“鸡兔总数”相对应,“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜,则有

                白菜亩数=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(亩)

                                       答:白菜地有10亩。

例3    李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本,作业本每本 3 .20元,日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?

          解  此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本,则有

              作业本数=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本)

              日记本数=45-15=30(本)

                                      答:作业本有15本,日记本有30本。

例4    (第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?

          解  假设100只全都是鸡,则有 

              兔数=(2×100-80)÷(4+2)=20(只)

              鸡数=100-20=80(只)

                                     答:有鸡80只,有兔20只。

例5    有100个馍100个和尚吃,大和尚一人吃3个馍,小和尚3人吃1个馍,问大小和尚各多少人?

           解  假设全为大和尚,则共吃馍(3×100)个,比实际多吃(3×100-100)个,这是因为把小和尚也算成了大和尚,因此我们在保证和尚总数100不变的情况下,以“小”换“大”,一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此,共有小和尚    (3×100-100)÷(3-1/3)=75(人)

              共有大和尚      100-75=25(人)

                                    答:共有大和尚25人,有小和尚75人。

 

21 、方阵问题

【含义】    将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵),根据已知条件求总人数或总物数,这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】  (1)方阵每边人数与四周人数的关系:

                                四周人数=(每边人数-1)×4

                                每边人数=四周人数÷4+1

              (2)方阵总人数的求法:

                                实心方阵:总人数=每边人数×每边人数

                                空心方阵:总人数=(外边人数)?-(内边人数)?

                                内边人数=外边人数-层数×2

              (3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则:

                                总人数=(每边人数-层数)×层数×4

【解题思路和方法】   

方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。

 

例1    在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行22人,参加体操表演的同学一共有多少人?

解  22×22=484(人)     答:参加体操表演的同学一共有484人。

例2    有一个3层中空方阵,最外边一层有10人,求全方阵的人数。

解  10?-(10-3×2)?=84(人)   答:全方阵84人。

例3    有一队学生,排成一个中空方阵,最外层人数是52人,最内层人数是28人,这队学生共多少人?

解  (1)中空方阵外层每边人数=52÷4+1=14(人)

(2)中空方阵内层每边人数=28÷4-1=6(人)

(3)中空方阵的总人数=14×14-6×6=160(人)

                                     答:这队学生共160人。

例4    一堆棋子,排列成正方形,多余4棋子,若正方形纵横两个方向各增加一层,则缺少9只棋子,问有棋子多少个?

解  (1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只)

(2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1)÷2=7(只)

(3)原有棋子数=7×7-9=40(只)

                                   答:棋子有40只。

例5    有一个三角形树林,顶点上有1棵树,以下每排的树都比前一排多1棵,最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树?

解  第一种方法:  1+2+3+4+5=15(棵)

第二种方法: (5+1)×5÷2=15(棵)

                                   答:这个三角形树林一共有15棵树。

 

22 、商品利润问题

【含义】    这是一种在生产经营中经常遇到的问题,包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。

【数量关系】利润=售价-进货价    利润率=(售价-进货价)÷进货价×100%

             售价=进货价×(1+利润率)

             亏损=进货价-售价    亏损率=(进货价-售价)÷进货价×100%

【解题思路和方法】  简单的题目可以直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。

例1    某商品的平均价格在一月份上调了10%,到二月份又下调了10%,这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何?

解  设这种商品的原价为1,则一月份售价为(1+10%),二月份的售价为(1+10%)×(1-10%),所以二月份售价比原价下降了

1-(1+10%)×(1-10%)=1%

                                答:二月份比原价下降了1%。

例2    某服装店因搬迁,店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元,已知衣服原来按期望盈利30%定价,那么该店是亏本还是盈利?亏(盈)率是多少?

解  要知亏还是盈,得知实际售价52元比成本少多少或多多少元,进而需知成本。因为52元是原价的80%,所以原价为(52÷80%)元;又因为原价是按期望盈利30%定的,所以成本为  52÷80%÷(1+30%)=50(元)

可以看出该店是盈利的,盈利率为  (52-50)÷50=4%

                                答:该店是盈利的,盈利率是4%。

例3    成本0.25元的作业本1200册,按期望获得40%的利润定价出售,当销售出80%后,剩下的作业本打折扣,结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣?

解  问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知,每册的原定价是0.25×(1+40%),所以关键是求出剩下的每册的实际售价,为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差,即

0.25×1200×40%×86%-0.25×1200×40%×80%=7.20(元)

剩下的作业本每册盈利  7.20÷[1200×(1-80%)]=0.03(元)

又可知   (0.25+0.03)÷[0.25×(1+40%)]=80%

                                答:剩下的作业本是按原定价的八折出售的。

例4    某种商品,甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%,甲店按30%的利润定价,乙店按20%的利润定价,结果乙店的定价比甲店的定价贵6元,求乙店的定价。

解  设乙店的进货价为1,则甲店的进货价为  1-10%=0.9

甲店定价为  0.9×(1+30%)=1.17

乙店定价为  1×(1+20%)=1.20

由此可得  乙店进货价为  6÷(1.20-1.17)=200(元)

乙店定价为    200×1.2=240(元)

                                    答:乙店的定价是240元。

 

23 、存款利率问题

【含义】    把钱存入银行是有一定利息的,利息的多少,与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数;月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。

【数量关系】  年(月)利率=利息÷本金÷存款年(月)数×100%

                      利息=本金×存款年(月)数×年(月)利率

                    本利和=本金+利息=本金×[1+年(月)利率×存款年(月)数]

【解题思路和方法】  简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。

例1    李大强存入银行1200元,月利率0.8%,到期后连本带利共取出1488元,求存款期多长。

解  因为存款期内的总利息是(1488-1200)元,

所以总利率为     (1488-1200)÷1200     又因为已知月利率,

所以存款月数为   (1488-1200)÷1200÷0.8%=30(月)

                                答:李大强的存款期是30月即两年半。

例2    银行定期整存整取的年利率是:二年期7.92%,三年期8.28%,五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元,甲先存二年期,到期后连本带利改存三年期;乙直存五年期。五年后二人同时取出,那么,谁的收益多?多多少元?

解  甲的总利息

[10000×7.92%×2+[10000×(1+7.92%×2)]×8.28%×3

=1584+11584×8.28%×3=4461.47(元)

乙的总利息   10000×9%×5=4500(元)

4500-4461.47=38.53(元)

                              答:乙的收益较多,乙比甲多38.53元。

 

24 、溶液浓度问题

【含义】    在生产和生活中,我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂(水或其它液体)、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如,水是一种溶剂,被溶解的东西叫溶质,溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度,也叫百分比浓度。

【数量关系】    溶液=溶剂+溶质       浓度=溶质÷溶液×100%

【解题思路和方法】  简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。

例1    爷爷有16%的糖水50克,(1)要把它稀释成10%的糖水,需加水多少克?(2)若要把它变成30%的糖水,需加糖多少克?

解  (1)需要加水多少克?  50×16%÷10%-50=30(克)

(2)需要加糖多少克?  50×(1-16%)÷(1-30%)-50=10(克)

                               答:(1)需要加水30克,(2)需要加糖10克。

例2    要把30%的糖水与15%的糖水混合,配成25%的糖水600克,需要30%和15%的糖水各多少克?

解  假设全用30%的糖水溶液,那么含糖量就会多出

600×(30%-25%)=30(克)

这是因为30%的糖水多用了。于是,我们设想在保证总重量600克不变的情况下,用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样,每“换掉”100克,就会减少糖    100×(30%-15%)=15(克)   所以需要“换掉”30%的溶液(即“换上”15%的溶液)  100×(30÷15)=200(克)

由此可知,需要15%的溶液200克。

需要30%的溶液  600-200=400(克)

                             答:需要15%的糖水溶液200克,需要30%的糖水400克。

例3    甲容器有浓度为12%的盐水500克,乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中,混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中,混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中,使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。

解  由条件知,倒了三次后,甲乙两容器中溶液重量相等,各为500克,因此,只要算出乙容器中最后的含盐量,便会知所求的浓度。下面列表推算:


 

       甲容器

乙容器

原  有

盐水500

盐500×12%=60

水500

第一次把甲中一半倒入乙中后

盐水500÷2=250

盐60÷2=30

盐水500+250=750

盐30

第而次把乙中一半倒入甲中后

盐水250+375=625

盐30+15=45

盐水750÷2=375

盐30÷2=15

第三次使甲乙中

盐水同样多

   盐水500

   盐45-9=36

   盐水500

   盐45-36+15=24


 

        由以上推算可知,乙容器中最后盐水的百分比浓度为  24÷500=4.8%

                                     答:乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。

 

25 、构图布数问题

【含义】    这是一种数学游戏,也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”,就是设计出一种图形;所谓“布数”,就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。

【数量关系】   根据不同题目的要求而定。

【解题思路和方法】  通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数,符合题目所给的条件。

例1    十棵树苗子,要栽五行子,每行四棵子,请你想法子。

        解  符合题目要求的图形应是一个五角星。

                         4×5÷2=10

            因为五角星的5条边交叉重复,应减去一半。

例2    九棵树苗子,要栽十行子,每行三棵子,请你想法子。

        解  符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形,

一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。

例3    九棵树苗子,要栽三行子,每行四棵子,请你想法子。

        解  符合题目要求的图形是一个三角形,每边栽4棵树,三个顶点上重复应减去,正好9棵。     4×3-3=9

例4    把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和,有几种写法?请设计一种图形,填入这七个数,每个数只填一处,且每条线上三个数的和都等于12。

        解  共有五种写法,即  12=1+4+7   12=1+5+6   12=2+3+7

                              12=2+4+6   12=3+4+5

            在这五个算式中,4出现三次,其余的1、2、3、5、6、7各出现两次,因此,4应位于三条线的交点处,其余数都位于两条线的交点处。据此,我们可以设计出以下三种图形:

 

26 、幻方问题

【含义】    把n×n个自然数排在正方形的格子中,使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等,这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。

【数量关系】  每行、每列、每条对角线上各数的和都相等,这个“和”叫做“幻和”。

               三级幻方的幻和=45÷3=15   

               五级幻方的幻和=325÷5=65

【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和(即幻和),其次是确定正中间方格的数,然后再确定其它方格中的数。

例1    把1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数填入九个方格中,使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。

解  幻和的3倍正好等于这九个数的和,所以幻和为

(1+2+3+4+5+6+7+8+9)÷3=45÷3=15

九个数在这八条线上反复出现构成幻和时,每个数用到的次数不全相同,最中心的那个数要用到四次(即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上),四角的四个数各用到三次,其余的四个数各用到两次。看来,用到四次的“中心数”地位重要,宜优先考虑。

设“中心数”为Χ,因为Χ出现在四条线上,而每条线上三个数之和等于15,所以  (1+2+3+4+5+6+7+8+9)+(4-1)Χ=15×4


2

7

6

9

5

1

4

3

8


        即   45+3Χ=60    所以     Χ=5

            接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置,它们

        分别在四个角,再确定其余四个奇数的位置,它们分别

        在中行、中列,进一步尝试,容易得到正确的结果。

例2    把2,3,4,5,6,7,8,9,10这九个数填到九个方格中,

        使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。

            解  只有三行,三行用完了所给的9个数,所以每行三数之和为

                   (2+3+4+5+6+7+8+9+10)÷3=18

            假设符合要求的数都已经填好,那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18,我们看18能写成哪三个数之和:

                最大数是10:18=10+6+2=10+5+3

                最大数是9: 18=9+7+2=9+6+3=9+5+4

                最大数是8: 18=8+7+3=8+6+4

最大数是7: 18=7+6+5          刚好写成8个算式。

首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数,共用了四次。观察上述8个算式,只有6被用了4次,所以正中间方格中应填6。


9

2

7

4

6

8

5

10

3


然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次,而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次,所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。

最后确定其它方格中的数。如图。

 

27 、抽屉原则问题

【含义】    把3只苹果放进两个抽屉中,会出现哪些结果呢?要么把2只苹果放进一个抽屉,剩下的一个放进另一个抽屉;要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示:一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。

 

【数量关系】  基本的抽屉原则是:如果把n+1个物体(也叫元素)放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体(元素)。

抽屉原则可以推广为:如果有m个抽屉,有k×m+r(0<r≤m)个元素那么至少有一个抽屉中要放(k+1)个或更多的元素。

通俗地说,如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些,那么至少有一个抽屉要放(k+1)个或更多的元素。

 

【解题思路和方法】  (1)改造抽屉,指出元素;

 (2)把元素放入(或取出)抽屉;

 (3)说明理由,得出结论。

例1                育才小学有367个1999年出生的学生,那么其中至少有几个学生的生日是同

一天的?

解  由于1999年是润年,全年共有366天,可以看作366个“抽屉”,把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中,至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。

    这说明至少有2个学生的生日是同一天的。

例2    据说人的头发不超过20万跟,如果陕西省有3645万人,根据这些数据,你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗?

        解  人的头发不超过20万根,可看作20万个“抽屉”,3645万人可看作3645万个“元素”,把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中,得到

            3645÷20=182……5    根据抽屉原则的推广规律,可知k+1=183

        答:陕西省至少有183人的头发根数一样多。

例3    一个袋子里有一些球,这些球仅只有颜色不同。其中红球10个,白球9个,黄球8个,蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个,试问他至少要取多少个球,才能保证至少有4个球颜色相同?

        解  把四种颜色的球的总数(3+3+3+2)=11  看作11个“抽屉”,那么,至少要取(11+1)个球才能保证至少有4个球的颜色相同。

        答;他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。

 

28 、公约公倍问题

【含义】    需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。

【数量关系】  绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。

【解题思路和方法】  先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数,再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法,最常用的是“短除法”。

例1    一张硬纸板长60厘米,宽56厘米,现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形,不许有剩余。问正方形的边长是多少?

          解  硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。

              60和56的最大公约数是4。    答:正方形的边长是4厘米。

例2    甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶,甲车行一周要36分钟,乙车行一周要30分钟,丙车行一周要48分钟,三辆汽车同时从同一个起点出发,问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇?

          解  要求多少时间才能在同一起点相遇,这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少时间,所以应是36、30、48的最小公倍数。             36、30、48的最小公倍数是720。

          答:至少要720分钟(即12小时)这三辆汽车才能同时又在起点相遇。

例3    一个四边形广场,边长分别为60米,72米,96米,84米,现要在四角和四边植树,若四边上每两棵树间距相等,至少要植多少棵树?

          解  相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数,要使植树的棵数尽量少,须使相邻两树的间距尽量大,那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。

所以,至少应植树  (60+72+96+84)÷12=26(棵)

          答:至少要植26棵树。

例4    一盒围棋子,4个4个地数多1个,5个5个地数多1个,6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间,求棋子总数。

         解  如果从总数中取出1个,余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60,又知棋子总数在150到200之间,所以这个总数为

                        60×3+1=181(个)

         答:棋子的总数是181个。

 

29 、最值问题

【含义】    科学的发展观认为,国民经济的发展既要讲求效率,又要节约能源,要少花钱多办事,办好事,以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。

【数量关系】  一般是求最大值或最小值。

【解题思路和方法】  按照题目的要求,求出最大值或最小值。

例1    在火炉上烤饼,饼的两面都要烤,每烤一面需要3分钟,炉上只能同时放两块饼,现在需要烤三块饼,最少需要多少分钟?

         解  先将两块饼同时放上烤,3分钟后都熟了一面,这时将第一块饼取出,放入第三块饼,翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼,翻过第三块饼,又放入第一块饼烤另一面,再烤3分钟即可。这样做,用的时间最少,为9分钟。

         答:最少需要9分钟。

例2    在一条公路上有五个卸煤场,每相邻两个之间的距离都是10千米,已知1号煤场存煤100吨,2号煤场存煤200吨,5号煤场存煤400吨,其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里,每吨煤运1千米花费1元,集中到几号煤场花费最少?

        解  我们采用尝试比较的方法来解答。

            集中到1号场总费用为  1×200×10+1×400×40=18000(元)

            集中到2号场总费用为  1×100×10+1×400×30=13000(元)

       集中到3号场总费用为  1×100×20+1×200×10+1×400×10=12000(元)

       集中到4号场总费用为  1×100×30+1×200×20+1×400×10=11000(元)

       集中到5号场总费用为  1×100×40+1×200×30=10000(元)

                  经过比较,显然,集中到5号煤场费用最少。

        答:集中到5号煤场费用最少。


 

重庆

武汉

北京

800

400

上海

500

300


例3    北京和上海同时制成计算机若干台,北京可调运外地10台,上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台,给武汉调运6台,

    若每台运费如右表,问如何调运才使运费最省?

        解  北京调运到重庆的运费最高,因此,北京

    往重庆应尽量少调运。这样,把上海的4台全都调

    往重庆,再从北京调往重庆4台,调往武汉6台,运费就会最少,其数额为

              500×4+800×4+400×6=7600(元)

        答:上海调往重庆4台,北京调往武汉6台,调往重庆4台,这样运费最少。

 

 30 、 列方程问题

【含义】    把应用题中的未知数用字母Χ代替,根据等量关系列出含有未知数的等式——方程,通过解这个方程而得到应用题的答案,这个过程,就叫做列方程解应用题。

【数量关系】   方程的等号两边数量相等。

【解题思路和方法】  可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。

         (1)审:认真审题,弄清应用题中的已知量和未知量各是什么,问题中的等量关系是什么。

         (2)设:把应用题中的未知数设为Χ。

         (3)列;根据所设的未知数和题目中的已知条件,按照等量关系列出方程。

         (4)解;求出所列方程的解。

         (5)验:检验方程的解是否正确,是否符合题意。

         (6)答:回答题目所问,也就是写出答问的话。

      同学们在列方程解应用题时,一般只写出四项内容,即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在Χ后面写上单位名称,在方程中已知数和未知数都不带单位名称,求出的Χ值也不带单位名称,在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出,但必须检验。

 

例1    甲乙两班共90人,甲班比乙班人数的2倍少30人,求两班各有多少人?

            解  第一种方法:设乙班有Χ人,则甲班有(90-Χ)人。

                找等量关系:甲班人数=乙班人数×2-30人。

                列方程:    90-Χ=2Χ-30

 解方程得    Χ=40    从而知     90-Χ=50

第二种方法:设乙班有Χ人,则甲班有(2Χ-30)人。

列方程       (2Χ-30)+Χ=90

解方程得    Χ=40    从而得知    2Χ-30=50

                                             答:甲班有50人,乙班有40人。

例2    鸡兔35只,共有94只脚,问有多少兔?多少鸡?

           解  第一种方法:设兔为Χ只,则鸡为(35-Χ)只,兔的脚数为4Χ个,鸡的脚数为2(35-Χ)个。根据等量关系“兔脚数+鸡脚数=94”可列出方程    4Χ+2(35-Χ)=94   解方程得   Χ=12   则35-Χ=23

   第二种方法:可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡,

则有  兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)

                     所以  兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)

                           鸡数=35-12=23(只)

                                           答:鸡是23只,兔是12只。

例3    仓库里有化肥940袋,两辆汽车4次可以运完,已知甲汽车每次运125袋,乙汽车每次运多少袋?

           解  第一种方法:求出甲乙两车一次共可运的袋数,再减去甲车一次运的袋数,即是所求。                         

      940÷4-125=110(袋)

               第二种方法:从总量里减去甲汽车4次运的袋数,即为乙汽车共运的袋数,再除以4,即是所求。                       

  (940-125×4)÷4=110(袋)

               第三种方法:设乙汽车每次运Χ袋,可列出方程 940÷4-Χ=125

                                               解方程得    Χ=110

               第四种方法:设乙汽车每次运Χ袋,依题意得

                   (125+Χ)×4=940         解方程得    Χ=110

                                             答:乙汽车每次运110袋。

 

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