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构建平方比,化解繁难题,如若你不信,方程你试试  

2012-05-30 18:34:01|  分类: 解题方法 |  标签: |举报 |字号 订阅

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构建平方比,化解繁难题,如若你不信,方程你试试

太康县城关镇建南小学 师亚军

周六,有老师打电话询问这样一道工程题:

一项工程.甲单独做需要的天数比甲乙合作的天数多9,乙单独做需要的天数比甲乙合作的天数多16天。甲单独做需几天完成?

上网查询,皆用方程解答,而且用到了二次方程。这对于小学生来说,是无法交代过关的。但用算术法,这的的确确是个不小的难题。

笔者想:“甲单独做需要的天数比甲乙合作的天数多9,乙单独做需要的天数比甲乙合作的天数多16天。”说明:乙单独做比甲单独做多用了16-9=7(天)。

如果能找到甲乙的工效比,那么此题就可解了。因为:工作总量一定,工效与工作时间成反比。

由“甲单独做需要的天数比甲乙合作的天数多9”知:甲多做9天的工作量就是乙在合作时间里做的工作量。即

甲的工效×9=乙的工效×合作时间……(1)式

同样,由“乙单独做需要的天数比甲乙合作的天数多16”知:乙多做16天的工作量就是甲用合作时间里做的工作量。即

乙的工效×16=甲的工效×合作时间……(2)式

将(1)式与(2)式相除,可得:甲乙工效的平方比是16:9,故知:甲的工效:乙的工效=4:3

由“工作总量一定,工效与工作时间成反比”可得:甲与乙单独做所用的时间比是3:4.

因为“乙单独做比甲单独做多用了16-9=7(天)”,所以甲单独做需要的时间是7÷(4-3)×3=21(天),乙单独做需要的时间则是7÷(4-3)×4=28(天)。

做完此题,我又想到了欧拉的《农妇卖鸡蛋问题》:

两个农妇共带100个鸡蛋去卖。一个带的多,一个带的少,但卖了同样的钱。一个农妇对另一个说:如果我有你那么多的鸡蛋,我能卖18元。另一个说:如果我只有你那么多鸡蛋,只能卖8元。

你知道两人各带了多少鸡蛋吗?

此题的思路也是构建平方比。因为“卖了同样的钱”,所以可知:两个农妇所带的鸡蛋个数与所卖的单价成反比。

假设第一个农妇带的鸡蛋数是第二个农妇的k倍,那么第二个农妇卖的单价应是第一个农妇的k倍。

由“一个农妇对另一个说:‘如果我有你那么多的鸡蛋,我能卖18元。’”和“另一个说:‘如果我只有你那么多鸡蛋,只能卖8元。’可得:

第二个农妇卖的鸡蛋单价×第一个农妇鸡带的蛋数=8

第一个农妇卖的鸡蛋单价×第二个农妇带的鸡蛋数=18

两式相除得:k的平方等于4/9,即k=2/3.就是说,两个农妇所带鸡蛋的个数比是2:3.

根据比例分配求得:第一个农妇带的鸡蛋数是100÷(2+3)×2=40(个),第二个农妇带的鸡蛋数是100÷(2+3)×3=60(个)。

这正是:构建平方比,化解繁难题,如若你不信,方程你试试!


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