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数学世界

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日志

 
 

妙解猴桃趣题  

2013-07-22 14:08:18|  分类: 数学问题 |  标签: |举报 |字号 订阅

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         一九七九年春,美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士,在访问中国科技大学时,向科大少年班学生提出过以下有趣的问题: 
          “海滩上有一堆桃子,这是五只猴的财产,它们要平均分配。第一只猴子来了,它左等右等,见别的猴子还没来,便自作主张把桃子分成相等的五堆。分完后还剩一个,它便把剩下的那个顺手扔到海里,自己拿走五堆中的一堆走了。第二只猴子来了,它不知道刚才发生的事,也把桃子分成相等的五堆,还是多一个。它也扔掉一个,自己拿走一堆走了。以后每只猴子来时也都遇到类似情形,也全都照此办理。问:原来至少有多少个桃子?最后至少有多少个桃子?”
         这道题可以这样解答:设原来有X个桃子,最后剩下Y个桃子。
         依题意得方程:略。  整理得  1024X-3125Y=8404。
         要解上述不定方程似乎不太容易。但如果注意到系数3125-1024=2101,恰为8404的四分之一,也就知道x=-4  y=-4 是方程的一个特解。X等于负4、Y等于负4给了我们很重要的启发:
         即:我们可以换一种思路,我们先借给四个桃子与原来所有X个桃子放在一起作为五只猴的财产,那么,依题意第一个猴子来了分配后,就比不借给它们四个桃子时,分配到的桃子数有所不同了,即第一只猴子来了分配到现有五只猴的财产的五分之一后,变成一个不剩了,因为借的这四个桃子与原方案分配后剩余的一个加起来参与了分配,这样一来,五个猴子分别来的时候,在新的分配方案下比原分配方案实际上多分配了一个,多分配这一个就是原分配方案被扔掉的那一个。
         简言之:五只猴的财产变成了X+4,五个猴子分别来到并分配时,总能被五整除,每次分配后剩下的桃子总比原方案分配后剩下的多了四个,以此类推,直至最后。
        结论:在新分配方案条件下,原来五只猴的财产X个加上4个后,五个猴子来了分配后,最后剩下的桃子=
(X+4)×4的5次方÷5的5次方,因4的5次方与5的5次方互质,故(X+4)一定能被5的5次方整除,最小应为3125。
       即:原来至少有  X+4=3125,                 X=3121 
       即:最后
至少有(X+4)×4的5次方÷5的5次方=Y+4=1024 
       即:最后至少有  Y=1024-4                   =1020
       五个猴子来了每次拿走的栗子数分别是
                      625、500、400、320、256共2101
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